रैखिक समीकरण निकाय $2 x +3 y +2 z =9$ ; $3 x +2 y +2 z =9$ ; $x - y +4 z =8$

सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए:

$\left|\begin{array}{ccc}
3 & -4 & 5 \\
1 & 1 & -2 \\
2 & 3 & 1
\end{array}\right|$

माना $A =\left(\begin{array}{ccc}{[ x +1]} & {[ x +2]} & {[ x +3]} \\ {[ x ]} & {[ x +3]} & {[ x +3]} \\ {[ x ]} & {[ x +2]} & {[ x +4]}\end{array}\right)$, जहाँ [t]महत्तम पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है। यदि $\operatorname{det}( A )=192$ है, तो $x$ के मानों का समुच्चय निम्न में से कौन सा अन्तराल है?

माना रैखिक समीकरण $x +2 y + z =2$, $\alpha x +3 y - z =\alpha,-\alpha x + y +2 z =-\alpha$ असंगत है तो $\alpha$ बराबर होगा।

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{m{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{m{a_2}}&{{b_2}}\\{{a_3}}&{m{a_3}}&{{b_3}}\end{array}\,} \right| = $

मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है जिनके लिए रैखिय समीकरणों

$x+2 y+3 z=\alpha$

$4 x+5 y+6 z=\beta$

$7 x+8 y+9 z=\gamma-$

का निकाय (system of linear equations) संगत (consistent) है। मान लीजिए कि $| M |$ आव्यूह (matrix)

$M=\left[\begin{array}{ccc}\alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$

का सारणिक (determinant) है।

मान लीजिए कि $P$ उन सभी $(\alpha, \beta, \gamma)$ को अंतर्विष्ट करने वाला समतल है। जिनके लिए ऊपर दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय संगत है, और $D$, बिन्दु $(0,1,0)$ की समतल $P$ से दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान है।

($1$) $| M |$ का मान. . . .है।

($2$) $D$ का मान. . . .है।